F1,F2是双曲线M:x方/a方-y方/b方=1的左右焦点,其渐近线为y=±根号3x,且右顶点到左焦点的距离为3
问题描述：
F1,F2是双曲线M:x方/a方-y方/b方=1的左右焦点,其渐近线为y=±根号3x,且右顶点到左焦点的距离为3
1）求双曲线M的方程2）过F2的直线l与M相交于A,B两点,直线l的法向量为n=（k,-1）（k＞0）,且向量OA.向量OB=0,求k的值3）在（2）的条件下,若双曲线M在第四象限的部分存在一点c满足向量OA+向量OB=m向量（F2C）,求m的值及△ABC的面积
答
1)渐近线为y=±√3x的双曲线是x^2/p-y^2/(3p)=1,
右顶点到左焦点的距离为√p+2√p=3,解得p=1,
∴双曲线M的方程是x^2-y^2/3=1.①
2)F2(2,0),l:k(x-2)-y=0,即y=k(x-2),②
把②代入①,3x^2-k^2*(x^2-4x+4)=3,
整理得(3-k^2)x^2+4k^2*x-4k^2-3=0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k^2/(k^2-3),x1x2=(4k^2+3)/(k^2-3),
由②,y1y2=k(x1-2)*k(x2-2)=k^2*[x1x2-2(x1+x2)+4],
由向量OA*OB=0得0=x1x2+y1y2=(1+k^2)x1x2-2k^2*(x1+x2)+4k^2,
∴0=(1+k^2)(4k^2+3)-8k^4+4k^2*(k^2-3),
化简得-5k^2+3=0,k^2=3/5,k>0,k=√15/5.
3）设C(sect,√3tant),由向量OA+向量OB=m向量（F2C）,得
(x1+x2,y1+y2)=m(sect-2,√3tant),-π/2