如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF. (1)证明:四边形AECF是矩形; (2)若AB=8,求菱形的面积.

问题描述:

如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.

(1)证明:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=8,求菱形的面积.

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
又∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一),
∴∠1=90°,
∵E、F分别是BC、AD的中点,
∴AF=

1
2
AD,EC=
1
2
BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∴AF∥EC且AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
又∵∠1=90°,
∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形);
(2)在Rt△ABE中,AE=
82−42
=4
3

所以,S菱形ABCD=8×4
3
=32
3