有两个相同的直三棱柱,高为2/a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是_.

问题描述:

有两个相同的直三棱柱,高为

2
a
,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是______.

①拼成一个三棱柱时,有三种情况,将上下底面对接,其全面积为S三棱柱表面=2×

1
2
×3a×4a+(3a+4a+5a)×
4
a
=12a2+48.
3a边可以合在一起时,S三棱柱表面=2×2×
1
2
×3a×4a+2(5a+4a)×
2
a
=24a2+36

4a边合在一起时S三棱柱表面=2×2×
1
2
×3a×4a+2(5a+3a)×
2
a
=24a2+32

②拼成一个四棱柱,有三种情况,就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是2×2×
1
2
×3a×4a=24a2
,但侧面积分别为:2(4a+5a)×
2
a
=36,2(3a+5a)×
2
a
=32,2(3a+4a)×
2
a
=28

显然,三个是四棱柱中全面积最小的值为:S四棱柱表面=2×2×
1
2
×3a×4a+2(3a+4a)×
2
a
=24a2+28

由题意,得24a2+28<12a2+48,
解得0<a<
15
3

故答案为:0<a<
15
3