有两个相同的直三棱柱,高为2/a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是_.
问题描述:
有两个相同的直三棱柱,高为
,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是______.2 a
答
①拼成一个三棱柱时,有三种情况,将上下底面对接,其全面积为S三棱柱表面=2×
×3a×4a+(3a+4a+5a)×1 2
=12a2+48.4 a
3a边可以合在一起时,S三棱柱表面=2×2×
×3a×4a+2(5a+4a)×1 2
=24a2+362 a
4a边合在一起时S三棱柱表面=2×2×
×3a×4a+2(5a+3a)×1 2
=24a2+32.2 a
②拼成一个四棱柱,有三种情况,就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是2×2×
×3a×4a=24a2,但侧面积分别为:2(4a+5a)×1 2
=36,2(3a+5a)×2 a
=32,2(3a+4a)×2 a
=28,2 a
显然,三个是四棱柱中全面积最小的值为:S四棱柱表面=2×2×
×3a×4a+2(3a+4a)×1 2
=24a2+28.2 a
由题意,得24a2+28<12a2+48,
解得0<a<
.
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故答案为:0<a<
15
3