求路过的高中的大哥大姐帮小弟解决一道数学问题

求路过的高中的大哥大姐帮小弟解决一道数学问题
我是高一新生,数学底子比较差,这两天做题做的云里雾里的,看教辅也看的云里雾里的,弄不懂"为什么要这样解题?依据是什么?”.
集合A={x/x=2n+1,n∈Z},B={y/y=4k±1,k∈Z},试证明A=B
这是资料上的解题步骤：
对于两个集合,如果A=B,那么就表示A是B的子集,B也是A的子集,那么就要从正反两方面证明才严谨,证明如下：
先证明A是B的子集：即A中的所有元素都包含于B
集合A={x/x=2n+1,n∈Z}
分类讨论：
①n为偶数（包括正偶数,负偶数和零）
则n可以表示成n=2t (t∈Z)
则X=4t+1（t∈Z）,
因为B={y/y=4k±1,k∈Z},所以X=4t+1（t∈Z）必然是B中的元素
②n为奇数（包括正奇数和负奇数）
则n可以表示成n=2t-1 (t∈Z)
则X=2(2t-1)+1=4t-1（t∈Z）,
因为B={y/y=4k±1,k∈Z},所以X=4t-1（t∈Z）必然是B中的元素
所以A中的元素必然是B中的元素,
所以A是B的子集
再证明B是A的子集：即B中的所有元素都包含于A
B={y/y=4k±1,k∈Z}
把B拆开来分析：
①
对于y=4k+1,k∈Z
令2k=t,因为k∈Z,所以2k∈Z,即t∈Z
则y=2t+1(t∈Z)
因为A={x/x=2n+1,n∈Z},所以y=2t+1(t∈Z)必然是A的元素
②
对于y=4k-1,k∈Z
令2k=t,因为k∈Z,所以2k∈Z,即t∈Z
则y=2t-1(t∈Z)
令m=t-1,因为t∈Z,所以t+1∈Z,即m∈Z
t=m+1
所以y=2（m+1)-1=2m+1 ,m∈Z
因为A={x/x=2n+1,n∈Z},所以y=2m+1(m∈Z)必然是A的元素
综上所诉,B是A的子集
所以得到A是B的子集,B也是A的子集
即A=B
我的问题是：一,为什么要要证奇偶数?
二,为什么B集合不用证奇偶数?
求大哥大姐解答,解答时尽量通俗一点,我底子不好,万分感激!