在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值

第一个问题：
取AC的中点为D.
∵PA＝PC、D∈AC且AD＝CD,∴PD⊥AC.
∵PA＝PC＝AC＝4、D∈AC且PD⊥AC,∴PD＝（√3/2）PA＝2√3.
∵AB＝BC＝2√2、AC＝4,∴AB^2＋BC^2＝AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有：AB⊥AC,
又D∈AC且AD＝CD,∴BD＝AC/2＝2.
∵PB＝4、PD＝2√3、BD＝2,∴PD^2＋BD^2＝PB^2,∴PD⊥BD.
由PD⊥AC、PD⊥BD、AC∩BD＝D,得：PD⊥平面ABC,而PD在平面APC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题：
过A作AE⊥平面PBC交平面PBC于E,取BC的中点为F.
∵BD⊥AC,∴△ABC的面积＝（1/2）AC×BD＝（1/2）×4×2＝4.
∵PD⊥平面ABC,∴P－ABC的体积＝（1/3）△ABC的面积×PD＝（1/3）×4×2√3＝8√3/3.
∵PB＝PC＝4、BC＝2√2、F∈BC且BF＝CF,∴BF＝√2、PF⊥BF,
∴由勾股定理,有：PF＝√（PB^2－BF^2）＝√（16－2）＝√14.
∴△PBC的面积＝（1/2）BC×PF＝（1/2）×2√2×√14＝2√7.
∵AF⊥平面PBC,∴A－PBC的体积＝（1/3）△PBC的面积×AF＝（2√7/3）AF.
显然有：A－PBC的体积＝P－ABC的体积,∴（2√7/3）AF＝8√3/3,∴AF＝4√3/√7.
∴cos∠PAF＝AF/PA＝（4√3/√7）/4＝√3/√7,
∴sin∠PAF＝√［1－（cos∠PAF）^2］＝√（1－3/7）＝2/√7＝2√7/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠PAF就是PA与平面PBC所成的角,
∴PA与平面PBC所成角的正弦值是 2√7/7.