如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E． （1）求证：AF=DF+BE． （2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．
问题描述：
如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．
（1）求证：AF=DF+BE．
（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．
答
（1）证明：如图，
延长CB至点G，使得BG=DF，连接AG．因为ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG．
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG．
又∵AE是∠BAF的平分线
∴∠EAF=∠BAE，
∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE即∠EAD=∠GAE．
∵AD∥BC，
∴∠GEA=∠EAD，
∴∠GEA=∠GAE，
∴AG=GE．
即AG=BG+BE．
∴AF=DF+BE，得证．
（2）S=S△ADF+S△ABE=
DF•AD+1 2
BE•AB1 2
∵AD=AB=1，
∴S=
(DF+BE)1 2
由（1）知，AF=DF+BE，所以S=
AF．1 2
在Rt△ADF中，AD=1，DF=x，
∴AF=
，
x2+1
∴S=
1 2
．
x2+1
由上式可知，当x2达到最大值时，S最大．而0≤x≤1，
所以，当x=1时，S最大值为
1 2
=
x2+1
1 2
．
2