如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=3,OC=2.动点D在线段BC上移动(不与B、C重合),连接OD,作DE⊥OD交边AB于点E,连接OE.设CD的长为t.(1)当t=1时,求直线DE的解析式.(2)设梯形COEB的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.(3)是否存在t的值,使得OE的长取得最小值?若存在,求出此时t的值并求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=3,OC=2.动点D在线段BC上移动(不与B、C重合),连接OD,作DE⊥OD交边AB于点E,连接OE.设CD的长为t.
(1)当t=1时,求直线DE的解析式.
(2)设梯形COEB的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(3)是否存在t的值,使得OE的长取得最小值?若存在,求出此时t的值并求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)如图,∵四边形OABC是矩形,且DE⊥OD,∴∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°.∴∠1=∠3.又∵∠OCD=∠B=90°,∴△OCD∽△DBE.∴CDBE=COBD.∴当t=1时,1BE=22,∴BE=1.∴点E的坐标为(3,1).设直线DE的解析式...
答案解析:(1)四边形OABC是矩形,且DE⊥OD,易证得△OCD∽△DBE,根据相似三角形的对应边成比例,可得当t=1时,

1
BE
2
2
,即可求得点E的坐标为(3,1).又由点D的坐标为(1,2),由待定系数法即可求得直线DE的解析式;
(2)由(1)得
CD
BE
CO
BD
,即可求得BE的值,又由S=
1
2
(BE+CO)•BC即可求得答案;
(3)因为Rt△OAE的直角边OA的长为定值,所以当Rt△OAE的面积最小时,AE的长最小,即OE的长最小.而当Rt△OAE的面积最小时,就是梯形COEB的面积最大时.根据二次函数最值的求解方法即可求得答案.
考试点:相似三角形的判定与性质;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值;矩形的性质;梯形.
知识点:此题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定与性质,以及二次函数的最值问题等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.