已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且 S3,S9,S6 成等差数列,则q^3=( )(为什么q^3=1要舍去?q=1也算等比数列啊？
问题描述：
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且 S3,S9,S6 成等差数列,则q^3=( )
(为什么q^3=1要舍去?
q=1也算等比数列啊？
答
q不等于1时 q=1时
Sn=a1.q^(n-1) Sn=n.a1
S3,S9,S6 成等差数列, S3,S9,S6 成等差数列,
s3+s6=2s9 s3+s6=2s9
a1.q^2 +a1.q^5=2a1.q^8 3a1+6a1=18a1,不成立
1+q^3=2q^6
q^3=-0.5
答
设首项a1，公比q。
S3+S6=2*S9
a1（1-q^3）/（1-q）+a1（1-q^6）/（1-q）=2a1（1-q^9）/（1-q） q≠1
1-q^3+1-q^6=2（1-q^9）
设q^3=t
1-t+1-t^2=2-2t^3
2t^3-t^2-t=0
2t^2-t-1=0
(2t+1)*(t-1)=0
t=-1/2 或t=1
q≠1 则q^3≠1
所以q^3=-1/2
答
开始就是分类讨论：
1 q不为1时,
,.
.
(不详细写了）
2 q=1时
an=a1
S3,S9,S6 成等差数列
2S9=S3+S6
18a1=3a1+6a1
a1=0
由于等比数列的各项均不为0（0作为除数没有意义）,因此q＝1舍去.