已知实数a满足a≤-1,函数f(x)=ex(x2+ax+1). (1)当a=-3时,求f(x)的极小值; (2)若g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同,证明:g(x)的极大值大于等于7.

问题描述:

已知实数a满足a≤-1,函数f(x)=ex(x2+ax+1).
(1)当a=-3时,求f(x)的极小值;
(2)若g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同,证明:g(x)的极大值大于等于7.

(1)当a=-3时,f(x)=ex(x2-3x+1).
f′(x)=ex(x2-3x+1)+ex(2x-3)
=ex(x2-x-2),
令f′(x)=0得x2-x-2=0
f′(x)=x2-x+2=(x+1)(x-2).
列表如下:

x (-∞,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以,f(x)的极小值为f(2)=-e2
(2)f′(x)=ex(x2+ax+1)+ex(2x+a)
=ex[x2+(a+2)x+(a+1)],
令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(a+1)=(x+1)(x+a+1)=0,由于实数a满足a≤-1,
所以f(x)的极小值点x=-(a+1),则g(x)的极小值点也为x=-(a+1),
而g(x)=2x3+3(b+1)x2+6bx+6,g′(x)=6x2+6(b+1)x+6b=6(x+1)(x+b),
所以a+1=b,
即b=a+1.
又因为a≤-1,∴b≤0
所以g(x)极大值=g(-1)=-2+3(b+1)-6b+6=-3b+7≥7.
故g(x)的极大值大于等于7.