已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y=3/4x与BC边交于D点． （1）求D点的坐标； （2）若抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式； （3）设
问题描述：
已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y=
x与BC边交于D点．3 4
（1）求D点的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．
答
（1）由题知，直线y=
x与BC交于点D（x，3）．（1分）3 4
把y=3代入y=
x中得，x=4，3 4
∴D（4，3）；（3分）
（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，（4分）
得
16a+4b＝3 36a+6b＝0
解之得
（5分）
a＝−
3 8 b＝
9 4
∴抛物线的解析式为y=-
x2+3 8
x；（6分）9 4
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．
∵CB∥OA，
∴∠P1OM=∠CDO，
∵∠DCO=∠OP1M=90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．
∵x=-
=3，b 2a
∴该点坐标为P1（3，0）．（11分）
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P2MO=∠DOC，
∴Rt△P2MO∽Rt△DCO．
在Rt△P2P1O和Rt△DCO中
P1O=CO=3，∠P2=∠ODC，
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO．
∴CD=P1P2=4，
∵点P2位于第四象限，
∴P2（3，-4）．（12分）
因此，符合条件的点有两个，分别是P1（3，0），P2（3，-4）．（13分）