设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
问题描述：
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
答
（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π-arcsina
当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤
．2 π
令g（x）=sinx-
x（0≤x≤2 π
），则g′（x）=cosx-π 2
2 π
当x∈(0，arccos
)时，g′（x）＞0，当x∈(arccos2 π
，2 π
)时，g′（x）＜0π 2
∵g(0)＝g(
)＝0，∴g（x）≥0，即π 2
x≤sinx（0≤x≤2 π
），π 2
当a≤
时，有f(x)≤2 π
x+cosx2 π
①当0≤x≤
时，π 2
x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；2 π
②当
≤x≤π时，f(x)≤π 2
x+cosx=1+2 π
(x−2 π
)−sin(x−π 2
)≤1+sinxπ 2
综上，a≤
．2 π