已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1(1) 求f(t)的表达式？(2) F(t)≥m恒等成立，求m的取值范围
问题描述：
已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
(1) 求f(t)的表达式？
(2) F(t)≥m恒等成立，求m的取值范围
答
f(1)=1
f(2)=f(1)+f(1)+3*1*1=5
f(3)=f(2)+f(1)+3*1*2=12
f(4)=f(3)+f(1)+3*1*3=22
f(5)=f(4)+f(1)+3*1*4=35
.........
f(n)=f(n-1)+f(1)+3*1*(n-1)
=f(n-2)+f(1)+f(1)+3*1*(n-1)+3*(n-2)
=n*f(1)+3*n*(n-1)/2
=n(3n-1)/2
答
(1)设y=1,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy得
f(x+1)=f(x)+f(1)+3x
f(x+1)-f(x)=f(1)+3x
令x=1,2,...,n-1得
f(2)-f(1)=f(1)+3*1
f(3)-f(2)=f(1)+3*2
...
f(n)-f(n-1)=f(1)+3*(n-1)
将上面各式相加得
f(n)-f(1)=(n-1)f(1)+3*n(n-1)/2
由f(1)=1得
f(n)=nf(1)+3*n(n-1)/2=n(3n-1)/2
即f(x)=x(3x-1)/2
(2)f(t)=t(3t-1)/2≥m恒成立,故判别式
3t^2-t-2m