设:P:指数函数y=ax在R内单调递减; Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P∨Q为真,¬Q也为真,求a的取值范围.
问题描述:
设:P:指数函数y=ax在R内单调递减; Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P∨Q为真,¬Q也为真,求a的取值范围.
答
∵当0<a<1时,指数函数y=ax在R内单调递减,
当a>1时,指数函数y=ax在R内单调递增,
∴当命题P是真命题时,0<a<1;
当命题P是假命题时,a>1.
∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,
解得a<
或a>1 2
.5 2
∴当命题Q是真命题时,则a<
或a>1 2
;5 2
当命题Q是假命题时,
≤a≤1 2
.5 2
∵P∨Q为真,¬Q也为真,
∴命题P是真命题,即0<a<1;
命题Q是假命题,即
≤a≤1 2
,5 2
因此,a∈(0,1)∩[
,1 2
]=[5 2
,1),1 2
即a∈[
,1),1 2
故a的取值范围是[
,1).1 2