设:P:指数函数y=ax在R内单调递减; Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P∨Q为真,¬Q也为真,求a的取值范围.

问题描述:

设:P:指数函数y=ax在R内单调递减; Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P∨Q为真,¬Q也为真,求a的取值范围.

∵当0<a<1时,指数函数y=ax在R内单调递减,
当a>1时,指数函数y=ax在R内单调递增,
∴当命题P是真命题时,0<a<1;
当命题P是假命题时,a>1.
∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,
解得a<

1
2
a>
5
2

∴当命题Q是真命题时,则a<
1
2
a>
5
2

当命题Q是假命题时,
1
2
≤a≤
5
2

∵P∨Q为真,¬Q也为真,
∴命题P是真命题,即0<a<1;
命题Q是假命题,即
1
2
≤a≤
5
2

因此,a∈(0,1)∩[
1
2
5
2
]=[
1
2
,1),
a∈[
1
2
,1)

故a的取值范围是[
1
2
,1).