若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则a的取值范围是______.

问题描述:

若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则a的取值范围是______.

∵f(x)的值域为R,令g(x)=ax2+ax+1,
∴g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞),
①当a=0时,g(x)=1,∴a≠0,
②当a≠0时,必须

a>0
△=a2−4a≥0

解得:a≥4,
故a的取值范围为[4,+∞).
答案解析:函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,就是g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞),分a=0与a≠0两种情况讨论即可.
考试点:二次函数的性质;对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.
知识点:本题考查二次函数的性质,难点在于对g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞)的理解与应用,常与函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的定义域为R相混淆,也是易错点,属于中档题.