设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(−b，b)内的函数f(x)＝lg1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是______．

问题描述：

设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(−b，b)内的函数f(x)＝lg

1+ax

1+2x

是奇函数，则a+b的取值范围是______．

答

∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数，
∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg

1−ax

1−2x

=-lg

1+ax

1+2x

，
∴lg

1−ax

1−2x

=lg

1+2x

1+ax

，则有

1−ax

1−2x

＝

1+2x

1+ax

，
即1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=-2；则函数f（x）=lg

1−2x

1+2x

，
要使函数有意义，则

1−2x

1+2x

＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-

＜x＜

，即函数f（x）的定义域为：（-

，

），
∴（-b，b）⊆（-

，

），∴0＜b≤

∴-2＜a+b≤-

，即所求的范围是(−2，−

]；
故答案为：(−2，−

]．
答案解析：由题意和奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．
考试点：奇函数．

知识点：本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．