已知中心在原点,离心率为二分之一的椭圆,它的一个焦点为圆C：x∧2+y∧2-4x+2＝0的圆心.
问题描述：
已知中心在原点,离心率为二分之一的椭圆,它的一个焦点为圆C：x∧2+y∧2-4x+2＝0的圆心.
1.求椭圆的方程
2.直线1过点d(2,1)交该椭圆于a,b两点,求点d恰为ab的中点时直线1的方程
答
1,圆C：x∧2+y∧2-4x+2＝0
化为（x-2)²+y²=2
于是圆心坐标就是（2,0）
于是椭圆它的一个焦点F2（2,0）
另一个焦点F1（-2,0）
也就是c=2
离心率e=c/a=1/2
从而解得a=4
于是a²=16
b²=a²-c²=12
于是椭圆的方程
就是x²/16+y²/12=1
2,.直线1过点d(2,1),于是直线l设为y-1=k(x-2)
即y=kx-2k+1
代进去x²/16+y²/12=1化简就是得到
（4k²+3）x²+8（1-2k)kx+4(1-2k)²-48=0
设A（x1,y1),B(x2,y2)
于是根据韦达定理就是
x1+x2=-8(1-2k)k/[4k²+3]=8（2k-1)k/(4k²+3）
那么（x1+x2)/2=4（2k-1)k/(4k²+3） ①
又ab中点d(2,1)
则（x1+x2)/2=2 ②
于是根据①②就是有
4（2k-1)k/(4k²+3）=2
化简就是解得
k=-3/2
把k=-3/2代进去y-1=k(x-2)
就得
y-1=-3/2(x-2)化简就是
3x+2y-8=0
点d恰为ab的中点时直线1的方程就是
3x+2y-8=0