如图,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为(  )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

问题描述:

如图,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为(  )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在线为y轴,DP所在线为z轴,建立空间坐标系,
∵点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,令PD=AD=1
∴A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)

PA
=(1,0,-1),
BD
=(-1,-1,0)
∴cosθ=
PA
BD
|
PA
|×| 
BD
|
=
−1
2
×
2
=−
1
2

故两向量夹角的余弦值为
1
2
,即两直线PA与BD所成角的度数为60°.
故选C
答案解析:本题求解宜用向量法来做,以D为坐标原点,建立空间坐标系,求出两直线的方向向量,利用数量积公式求夹角即可
考试点:异面直线及其所成的角.
知识点:本题考查异面直线所角的求法,由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便,故采取了向量法求两直线所成角的度数,从解题过程可以看出,此法的优点是不用作辅助线,大大降低了思维难度.