已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)满足条件:①图象过原点;②f(1+x)=f(1-x);③方程f(x)=x有两个相等的实根. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在x∈[-1,2]的值域.

问题描述:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)满足条件:①图象过原点;②f(1+x)=f(1-x);③方程f(x)=x有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x∈[-1,2]的值域.

(1)由①图象过原点可得f(0)=c=0,
由②f(1+x)=f(1-x)可得函数的对称轴为x=

b
2a
=1
由③方程f(x)=x有两个相等的实根可得ax2+bx+c=x,
即ax2+(b-1)x+c=0有两个相等的实根,
故△=(b-1)2-4ac=0,
联立方程组可解得a=
1
2
,b=1,
故f(x)的解析式为:f(x)=
1
2
x2+x;
(2)由(1)知f(x)=
1
2
x2+x=
1
2
(x−1)2+
1
2

由二次函数的性质可知函数在[-1,1]单调递增,在[1,2]单调递减,
故当x=1时,函数取最大值f(1)=
1
2

当x=-1时,函数取最大值f(-1)=
3
2

故f(x)在x∈[-1,2]的值域为[
3
2
1
2
]