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数列极限limn→+∞（nn2+12+nn2+22+…+nn2+n2）=（　　） A.π2 B.π6 C.π3 D.π4

分类: 作业答案 • 2021-12-23 20:19:18
问题描述：

数列极限

lim
n→+∞
（
n
n2+12
+
n
n2+22
+…+
n
n2+n2
）=（　　）
A.
π
2

B.
π
6

C.
π
3

D.
π
4

答

xn＝

n
n2+12
+
n
n2+22
+…+
n
n2+n2
＝
1
n
[
1
1+(
1
n
)2
+
1
1+(
2
n
)2
+…+
1
1+(
n
n
)2
]
这是函数f(x)＝
1
1+x2
在[0，1]上有一个积分和：
1
n
[f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)]＝
n
i＝1
f(ξi)
1
n
，
其中积分区间[0，1]n等分，n等分后每个小区间是[
i−1
n
，
i
n
](i＝1，2…，n)，ξi是区间的右端点．
因此原式=
lim
n→+∞
xn＝
∫ 10
dx
1+x2
＝arctanx
.
1
0
＝
π
4
．
故选：D．

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