问一道数学题（关于高中函数的）,已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).（1）求证：f(0)=1;（2）求证：对任意的x∈R,恒有f(x)＞0；（3）求证：f(x)是R上的增函数.

问题描述：

问一道数学题（关于高中函数的）,
已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
（1）求证：f(0)=1;
（2）求证：对任意的x∈R,恒有f(x)＞0；
（3）求证：f(x)是R上的增函数.

答

(1)证明：
因为对任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)f(b)成立，
所以，设a=0,b=0,则f(a+b)=f(a)f(b)可以表示为
f(0+0)=f(0)=f(0)f(0)
又因为f(0)≠0，
所以要使f(0+0)=f(0)f(0)成立，
则f(0)=1
命题得证
不好意思，我的水平有限，我只做得来第一问！

答

(1)令a=b=0，则有f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)=[f(0)]^2
故f(0)=1。[f(0)≠0]
(2)相似地，对于任何实数x，令a=b=x/2，则有：
f(x)=f(x/2+x/2)=[f(a)]^2＞0 [f(0)≠0]
(3)分情况讨论：
x>0时，令x=a+b，a、b均为正，则有f(x)=f(a+b)=f(a)f(b)
因为当x＞0时，f(x)＞1，f(a)和f(b)也都大于1，所以f(x)=f(a)f(b)同时大于f(a)和f(b)，所以x>0时f(x)单调递增
当x1=a+b而x2=a+c>0且b>0、cx2且f(x1)>f(x2)>0，于是f(x1)=f(a)f(b)>f(a)f(c)=f(x2)所以可得出x相似地，可证x取值渐近负无穷大时，f(x)向负无穷大方向单调递减，即向正方向单调递增
所以，f(x)在R上单调递增
PS不好意思开始有事去了就回得晚了……

答

此题的关键a,b是任意的我们就可以随便取值,既然任意的ab都可以那么特定的值肯定可以1.令a=1,b=0 则有f(0+1)=f(0)*f(1);即f(1)=f(0)*f(1);再由题设可以得出x=1>0时f(x)=f（1）>1所以可以得出f（0）=1；2.令a=b则有 f...

问一道数学题（关于高中函数的）,已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).（1）求证：f(0)=1;（2）求证：对任意的x∈R,恒有f(x)＞0；（3）求证：f(x)是R上的增函数.

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