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已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

分类: 作业答案 • 2021-12-23 20:07:45

问题描述：

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

答

（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴SA⊥BD、
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC、
（2）设AC∩BD=F，连SF，则SF⊥BD、
∵AB=2．∴BD=2

2

．
∵SF=

SA2+AF2

=

42+(

2

)2

=3

2

∴S_△SBD=

1

2

BD•SF=

1

2

•2

2

•3

2

=6．
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴

1

3

•S_△SBD•h=

1

3

•S_△ABD•SA，
∴6•h=

1

2

•2•2•4，
∴h=

4

3

，
∴点A到平面SBD的距离为

4

3

．