已知函数f(x)=cos^2x-2asinx-a(a为常数)的最大值为g(a)(1)若a=1╱2,求g(a)(2)当g(a)=3/4时,求实数a

问题描述:

已知函数f(x)=cos^2x-2asinx-a(a为常数)的最大值为g(a)
(1)若a=1╱2,求g(a)
(2)当g(a)=3/4时,求实数a

f(x)=cos^2x-2asinx-a=1-sin^2x-2asinx-a=-(sinx+a)^2+1-a+a^2
令sinx=t,(-11,当a=1/2时,t=a时,g(a)=1-a+a^2=3/4
2,当-1当a>1时,t=1时,f(t)取得最大值,g(a)=-(1+a)^2+1-a+a^2=3/4,所以1-1-2a-a=3/4,
所以a=-1/4当a-1,舍去
综上,当g(a)=3/4时,a=1/2

(1)当a=1/2时,f(x)=cos²x-sinx-1/2=1-sin²x-sinx-1/2=-(sinx+1/2)²+3/4≤3/4,所以g(a)=3/4;
(2)f(x)=cos²x-2asinx-a=1-sin²x-2asinx-a=-(sin²x+2asinx)+1-a=-(sinx+a)²+a²-a+1==-(sinx+a)²+(a-1/2)²+3/4=g(a)=3/4,所以sinx=-a,a=1/2。

f(x)=cos^2x-2asinx-a=1-sin^2 x-2asinx-a
(1)若a=1/2,则f(x)=-(sinx+1/2)^2+3/4
当x=-1/2时,f(x)最大值=3/4
(2)当g(a)=3/4,有1-sin^2 a-2asina-a=3/4,得sin^2 a+2asina+a=1/4
(sina-a)^2=a^2-a+1/4=(a-1/2)^2

(1)f(x)=cos²x-2×(1/2)sinx-1/2
=cos²x-sinx-1/2
=-sin²x-sinx+1/2=-(sinx+1/2)²+3/4
最大值是3/4
(2)f(x)=-sin²x-2asinx-a+1=-(sinx+a)²+a²-a+1
a²-a+1=3/4
(a-1/2)²=0
a=1/2

(1)f(x)=1-sin^2x-2asinx-a
=-sin^2x-2asinx+1-a
=-(sinx+a)^2+1-a+a^2
所以g(a)=1-a+a^2
g(1/2)=3/4
(2)当g(a)=3/4时,1-a+a^2=3/4
a^2-a+1/4=0
解得:a=1/2