四面体P-ABC,PA,PB,PC什么关系可使P在底面ABC上的射影与底面的垂心重合?
问题描述：
四面体P-ABC,PA,PB,PC什么关系可使P在底面ABC上的射影与底面的垂心重合?
答
设P在面ABC上的射影为O
则满足O为ABC的垂心
由三垂线公式。
如PB在ABC上的射影要垂直AC
进而推PB垂直面PAC,得PB垂直PA\PC
同理可证PA\PC的关系
答
PA PB PC 两两垂直 在底面的射影是垂心
证明 当PA PB PC 两两垂直 时 设P在底面的射影是O
因为PA PB PC 两两垂直 所以PA⊥面PBC 所以PA⊥BC
根据三垂线定理 则AO⊥BC
通理可以证明BO⊥AC CO⊥AB
所以O是垂心