求函数Z=X^+XY+Y^+X-Y+1的极值
问题描述：
求函数Z=X^+XY+Y^+X-Y+1的极值
答
z=x^2+xy+y^2+x-y+1
Z'x=2x+y+1
Z'x=0
y=-2x-1
Z=x^2+x(-2x-1)+(2x+1)^2+x+(2x+1)+1=3x^2+6x+3
Z'y=x+2y-1
Z'y=0
x=1-2y
Z=(2y-1)^2+(1-2y)y+y^2+(1-2y)-y+1=3y^2-6y+3
x=1,y=1极值0
答
z=x²+xy+y²+x-y+1
=x²/2+xy+y²/2+x²/2+x+1/2+y²/2-y+1/2
=(1/2)(x+y)²+(1/2)(x+1)²+(1/2)(y-1)²
平方项恒非负,z≥0,此时
x+y=0
x+1=0
y-1=0
解得x=-1 y=1
当x=-1,y=1时,函数有极小值zmin=0,没有极大值.