已知函数f（x）=ex-ln（x+m） （Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．
问题描述：
已知函数f（x）=ex-ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．
答
（Ⅰ）∵f′(x)＝ex−
，x=0是f（x）的极值点，∴f′(0)＝1−1 x+m
＝0，解得m=1．1 m
所以函数f（x）=ex-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵f′(x)＝ex−
＝1 x+1
．
ex(x+1)−1 x+1
设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时，函数f′(x)＝ex−
在（-2，+∞）上为增函数，且f′（-1）＜0，f′（0）＞0．1 x+2
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（-1，0）．
当x∈（-2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
从而当x=x0时，f（x）取得最小值．
由f′（x0）=0，得ex0＝
，ln（x0+2）=-x0．1
x0+2
故f（x）≥f(x0)＝
+x0=1
x0+2
＞0．(x0+1)2
x0+2
综上，当m≤2时，f（x）＞0．