已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.

设f(x)在[-2,2]上的最小值为g(a),
则满足g(a)≥a的a的最小值即为所求.
配方得f(x)=(x+

a
2
)2+3−
a2
4
(|x|≤2)
(1)当−2≤−
a
2
≤2
时,即-4≤a≤4时,g(a)=3−
a2
4

由3-
a2
4
≥a解得∴-4≤a≤2;
(2)当
a
2
≥2
时,即a≤-4,g(a)=f(2)=7+2a,
由7+2a≥a得a≥-7∴-7≤a≤-4
(3)当
a
2
≤−2
时,即a≥4,g(a)=f(-2)=7-2a,
由7-2a≥a得a≤
7
3
,这与a≥4矛盾,此种情形不存在.
综上讨论,得-7≤a≤2∴amin=-7.