二元函数积分的应用题
问题描述：
二元函数积分的应用题
一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.
证明当h>0的时候,体积在减少
定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是膨胀了还是收缩了.
1分钟后气球的体积是如何变化的.
答
（1）V=[e^(-h)]/(1+t^2)=1/[e^h*(1+t^2)]
h>0时,e^(-h)为减函数,∴h增大,V减小
同时,1/(1+t^2)为减函数,∴t增大,V减小
∴ h>0时,体积随时间增大而减小
（2）h=t(10-t)=25-(t-5)^2
气球在最高点时,有
h'(t)=-2(t-5)=0,∴有 t=5,hmax=25
dV/dt=e^(-h)[-h'(1+t^2)-2t]/(1+t^2)^2
∵最高点时h'(t)=0
∴体积变化率
dV/dt=e^(-h)*(-2t)/(1+t^2)^2
=e^(-25)*(-2*5)/(1+5^2)^2
=-10/26^2*e^(-25)
∵h(0)=0,h(5)=25,h(1)=9
∴V(0)=1,V(5)=e^(-25)/(1+5^2)=e^(-25)/26
V(1)=e^(-9)/(1+1^2)=e^(-9)/2
易知V(5)