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如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．（1）求MP；（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于1/3．

分类: 作业答案 • 2021-12-23 14:04:00

问题描述：

如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．

（1）求MP；
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于

1

3

．

答

（1）连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等边三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=

1

2

BC=

1

2

，∠BPN=

1

2

×∠BPC=30°，
∴PN=

3

2

，MP=MN-PN=

2−

3

2

．
（2）证明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴PQ=

3

3

．
∴以PQ为边的正方形的面积为

1

3

．