有一个数除以3余数是1除以5余数是2除以7余数是3这个正整数是多少

70是5和7的公倍数,且除以3余1.21是3和7的公倍数,且除以5余1.15是3和5的公倍数,且除以7余1.（任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了.）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案.
用歌诀解题容易记忆,但有它的局限性,只能限于用3、5、7三个数去除,用其它的数去除就不行了.后来我国数学家又研究了这个问题,运用了像上面分析的方法那样进行解答.
例1：一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
题中3、4、5三个数两两互质.
则〔4,5〕=20；〔3,5〕=15；〔3,4〕=12；〔3,4,5〕=60.
为了使20被3除余1,用20×2=40；
使15被4除余1,用15×3=45；
使12被5除余1,用12×3=36.
然后,40×1＋45×2＋36×4=274,
因为,274>60,所以,274－60×4=34,就是所求的数.
例2：一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?
题中3、7、8三个数两两互质.
则〔7,8〕=56；〔3,8〕=24；〔3,7〕=21；〔3,7,8〕=168.
为了使56被3除余1,用56×2=112；
使24被7除余1,用24×5=120.
使21被8除余1,用21×5=105；
然后,112×2＋120×4＋105×5=1229,
因为,1229>168,所以,1229－168×7=53,就是所求的数.
例3：一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数.
题中5、8、11三个数两两互质.
则〔8,11〕=88；〔5,11〕=55；〔5,8〕=40；〔5,8,11〕=440.
为了使88被5除余1,用88×2=176；
使55被8除余1,用55×7=385；
使40被11除余1,用40×8=320.
然后,176×4＋385×3＋320×2=2499,
因为,2499>440,所以,2499－440×5=299,就是所求的数.
例4：有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 （幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质.
则〔7,5〕=35；〔9,5〕=45；〔9,7〕=63；〔9,7,5〕=315.
为了使35被9除余1,用35×8=280；
使45被7除余1,用45×5=225；
使63被5除余1,用63×2=126.
然后,280×5＋225×1＋126×2=1877,
因为,1877>315,所以,1877－315×5=302,就是所求的数.
例5：有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人 （泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质.
则〔7,5〕=35；〔9,5〕=45；〔9,7〕=63；〔9,7,5〕=315.
为了使35被9除余1,用35×8=280；
使45被7除余1,用45×5=225；
使63被5除余1,用63×2=126.
然后,280×6＋225×2＋126×3=2508,
因为,2508>315,所以,2508－315×7=303,就是所求的数.
（例5与例4的除数相同,那么各个余数要乘的“数”也分别相同,所不同的就是最后两步.）
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法
“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目,也可以用倍数和余数的方法解决.如：
例一,一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?
解法：题目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4 .看到那个“被6除余4,被7除余4”了么,有同余数的话,只要求出6和7的最小公倍数,再加上4,就是满足后面条件的数了,6X7＋4＝46.下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”.不行的话,只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”.这步的原因是,42是6和7的最小公倍数,再怎么加都会满足
“被6除余4,被7除余4”的条件.
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
这是一种形式的,它的前提是条件中出现同余数的情况,如果遇到没有的,下面讲
例二,一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班有多少学生?
解法：题目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4.没有同余的情况,用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是在4上一直加7,直到所得的数除5余3.得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目.比“中国剩余定理”更好理解,我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快.