棱长为a的正四面体的高是?它外接圆的表面积是?
问题描述：
棱长为a的正四面体的高是?它外接圆的表面积是?
答
设正四面体P-ABC,作高PH,连结AH,并延长与BC相交于D,
球心O在PH上,
△ABC是正△,AD=√3a/2,
H是正△ABC重心,
AH=2AD/3=√3a/3,
在直角三角形PAH中,根据勾股定理,
PH=√6a/3,
设OA=OP=R,
AO^2=AH^2+OH^2,
OH=PH-R,
R^2=(√3a/3)^2+(√6a/3-R)^2,
a^2=2√6aR/3,
R=√6a/4,
球表面积S=4πR^2=3πR^2/2.