2002年8月在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为

问题描述:

2002年8月在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin2θ-cos2θ的值等于(  )
A. 1
B.

24
25

C.
7
25

D. -
7
25

∵大正方形面积为25,小正方形面积为1,
∴大正方形边长为5,小正方形的边长为1.
∴5cosθ-5sinθ=1,
∴cosθ-sinθ=

1
5

∴两边平方得:1-sin2θ=
1
25

∴sin2θ=
24
25

∵θ是直角三角形中较小的锐角,
∴0<θ<
π
4
,0<2θ<
π
2

∴sin2θ-cos2θ=-cos2θ=-
1−sin2
=−
7
25

故选D.