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已知双曲线C与椭圆9x2+25y2=225有相同的焦点，且离心率e=2．（1）求双曲线C的方程；（2）若P为双曲线右支上一点，F1、F2为其焦点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．

分类: 作业答案 • 2021-12-23 11:06:08

问题描述：

已知双曲线C与椭圆9x²+25y²=225有相同的焦点，且离心率e=2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P为双曲线右支上一点，F₁、F₂为其焦点，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

答

（1）设双曲线C的方程为

x2

a2

−

y2

b2

＝1 (a＞0，b＞0)
椭圆9x2+25y2＝225 可化为

x2

25

+

y2

9

＝1
∴c＝

25−9

＝4
∵e＝

c

a

＝2∴a=2
∴b²=c²-a²=16-4=12
∴所求双曲线方程为

x2

4

−

y2

12

＝1（6分）
（2）由已知得

|PF1|−|PF2 ＝4 ①

|PF1| 2+|PF2| 2＝|F1F2| 2＝64 ②

，
②-①²得2|PF₁|•|PF₂|=48
∴|PF₁|•|PF₂|=24
∴S△PF1F2＝

1

2

|PF1| • |PF2| ＝12（12分）