如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?

问题描述:

如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?

以AB为直径的圆与边CD相切.
理由如下:过点E作EF⊥CD于点F.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ADE=∠EDF,∠ECB=∠ECF,
在△ADE和△FDE中,

∠A=∠DFE
∠ADE=∠FDE
DE=DE

∴△ADE≌△FDE.
同理可得:△EFC≌△EBC,
∴AE=EF=EB,
则以AB为直径的圆的圆心为点E,
∵EF=EA=EB=
1
2
AB,
∴以AB为直径的圆与边CD相切.