已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是ABC的中点，弦DE⊥AB于点F，DE交AC于点G． （1）如图1，求证：∠BAC=∠OED； （2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF=3，FB=4/3，求cos∠DEH的值
问题描述：
已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是
的中点，弦DE⊥AB于点F，DE交AC于点G．ABC
（1）如图1，求证：∠BAC=∠OED；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF=3，FB=
，求cos∠DEH的值． 4 3
答
（1）证明：连接DO并延长交AC于M点，如图1，
∵点D是
的中点，ABC
∴OM⊥AC，
∴∠AMO=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠OFD=90°，
而∠AOM=∠DOF，
∴∠A=∠D，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D，
∴∠BAC=∠OED；
（2）连接OE，如图2，
∵EH为⊙O的切线，
∴OE⊥EH，
∴∠OEF+∠DEH=90°，
而∠OEF+∠FOE=90°，
∴∠FOE=∠DEH，
∵AF=3，FB=
，4 3
∴AB=AF+BF=
，13 3
∴OB=
AB=1 2
，13 6
∴OF=OB-FB=
，5 6
在Rt△OEF中，OE=
13 6
cos∠FOE=
=OF OE
=
5 6
13 6
，5 13
∴cos∠DEH=
．5 13