如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是210,255. (1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是

2
10
2
5
5


(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.

(1)由已知条件即三角函数的定义可知cosα=

2
10
,cosβ=
2
5
5

因为α为锐角,则sinα>0,从而sinα=
1−cos2α
7
2
10

同理可得sinβ=
1−cos2β
5
5

因此tanα=7,tanβ=
1
2

所以tan(α+β)=
tanα+tanβ
1−tanα•tanβ
7+
1
2
1−7×
1
2
=−3;
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=
−3+
1
2
1−(−3)×
1
2
=−1,
又0<α<
π
2
,0<β<
π
2
,故0<α+2β<
2

所以由tan(α+2β)=-1得α+2β=
4