如图,AD∥BC,AB=CD,M是BC的中点,N是AD的中点,AD=5,BC=13,∠B+∠C=90°,求MN的长.

问题描述:

如图,AD∥BC,AB=CD,M是BC的中点,N是AD的中点,AD=5,BC=13,∠B+∠C=90°,求MN的长.

如图,过点N作NE∥AB交BC于E,作NF∥CD交BC于F,
所以,∠NEF=∠B,∠NFE=∠C,
∵∠B+∠C=90°,
∴∠NEF+∠NFE=90°,
∴∠ENF=90°,
∵AD∥BC,
∴▱ABEN,▱CDNF是平行四边形,
∴AB=NE,NF=CD,BE=AN,CF=DN,
∴NE=NF,EF=BC-AD=13-5=8,
又∵∠ENF=90°,
∴△NEF是等腰直角三角形,
∴MN=

1
2
EF=
1
2
×8=4.
答案解析:过点N作NE∥AB交BC于E,作NF∥CD交BC于F,根据两直线平行,同位角相等可得∠NEF=∠B,∠NFE=∠C,然后求出∠ENF=90°,再求出AB=NE,NF=CD,从而判断出△NEF是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得MN=
1
2
EF.
考试点:直角三角形斜边上的中线.
知识点:本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰直角三角形的判定与性质,作辅助线构造出平行四边形和等腰直角三角形是解题的关键.