一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-1312是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.

问题描述:

一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-13

1
2
是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.

∵a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项,
∴a(3a+3)=(2a+2)2
解得a=-1,或a=-4.
当a=-1时,数列的前三项依次为-1,0,0,
与等比数列定义矛盾,故a=-1舍去;
当a=-4时,数列的前三项依次为-4,-6,-9,
则公比为q=

3
2
,∴an=-4(
3
2
n-1
令-4(
3
2
n-1=-13
1
2

即(
3
2
n-1=
27
8
=(
3
2
3
∴n-1=3,即n=4,
∴-13
1
2
是这个数列中的第4项.
答案解析:由等比中项可得a(3a+3)=(2a+2)2.解得a=-1,或a=-4,当a=-1时,矛盾;当a=-4时,求通项,验证可得.
考试点:等比数列的性质.
知识点:本题考查等比数列的性质和通项公式,涉及分类讨论的思想,属中档题.