讨论曲线f(x)=3x-x3的单调性、极值、凹向和拐点并作图.

问题描述:

讨论曲线f(x)=3x-x3的单调性、极值、凹向和拐点并作图.

先求一阶导,y′=3-3x2=-3(x+1)(x-1),
令y′<0,得到单调减区间(-∞,-1)和(1,+∞);令y′≥0,得到单调增区间[-1,-1];
令y′=0,得到驻点x=-1和x=1,且在这两个点左右增减性发生变化,
其中x=-1时,取得极小值f(-1)=-2;x=1时,取得极大值f(1)=2;
再求二阶导,y″=-6x,
令y″<0,得到凸区间(0,+∞),令y″≥0,得到凹区间(-∞,0];
令y″=0,x=0,且在x=0两侧凹凸性发生了变化,故拐点为(0,0).
根据以上性质做出函数图象为: