若x→0时,F(x)=∫x0(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,则f′(0)=_.

问题描述:

若x→0时,F(x)=

x0
(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,则f′(0)=______.

F(x)

=∫ x0
x2f′(t)dt
−∫ x0
t2f′(t)dt,
求导得,F′(x)=2x
x0
f′(t)dt+x2f′(x)−x2f′(x)

=2x
x0
f′(t)dt

又x→0时,F(x)=
x0
(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,
所以1=
lim
x→0
2x
x0
f′(t)dt
x2
=
lim
x→0
2
x0
f′(t)dt
x
lim
x→0
2f′(x)
1

即f′(0)=
1
2