若x→0时,F(x)=∫x0(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,则f′(0)=_.
问题描述:
若x→0时,F(x)=
(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,则f′(0)=______.
∫
x0
答
F(x)
x2f′(t)dt
=∫
x0
t2f′(t)dt,
−∫
x0
求导得,F′(x)=2x
f′(t)dt+x2f′(x)−x2f′(x)
∫
x0
=2x
f′(t)dt,
∫
x0
又x→0时,F(x)=
(x2-t2)f′(t)dt的导数与x2为等价无穷小,
∫
x0
所以1=
lim x→0
=2x
f′(t)dt
∫
x0
x2
lim x→0
=2
f′(t)dt
∫
x0
x
lim x→0
,2f′(x) 1
即f′(0)=
.1 2