设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x2−t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为同阶无穷小，求常数k．
问题描述：
设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=
(x2−t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为同阶无穷小，求常数k．
∫
x
0
答
因为F（x）=
(x2−t2)f（t）dt=x2
∫
x
0
f(t)dt-
∫
x
0
t2f(t)dt，
∫
x
0
利用积分上限函数的求导公式可得，
F′（x）=2x
f(t)dt+x2f(x)−x2f(x)=2x
∫
x
0
f(t)dt．
∫
x
0
因为f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，
所以f（x）为x的同阶无穷小，
且
lim x→0
=f(x) x
lim x→0
=f′（0）．f(x)−f(0) x−0
从而，
f(t)dt为x2的同阶无穷小，
∫
x
0
f（x）=2x
f(t)dt为x3的同阶无穷小，
∫
x
0
即：k=3．
答案解析：利用积分上限函数的求导公式可得F′（x）的表达式，利用已知条件可以确定k的值．
考试点：积分上限函数及其求导．
知识点：本题考查了积分上限函数的求导、同阶无穷小的定义与判定，综合性较强，难度系数适中．在求F′（x）时，一定要注意，由于被积函数值含有x，故不能直接求导，要先将x放到积分号之外，再求导．