已知函数f(x)=−2a2lnx+1/2x2+ax(a∈R). (Ⅰ) 讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]的最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=−2a2lnx+

1
2
x2+ax(a∈R).
(Ⅰ) 讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]的最小值.

函数f(x)的定义域为(0,+∞),…(1分)
(Ⅰ)f′(x)=

x2+ax−2a2
x
(x+2a)(x−a)
x
,…(4分)
(1)当a=0时,f'(x)=x>0,所以f(x)在定义域为(0,+∞)上单调递增; …(5分)

(2)当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-2a(舍去),x2=a,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
此时,f(x)在区间(0,a)单调递减,
在区间(a,+∞)上单调递增;          …(7分)

(3)当a<0时,令f'(x)=0,得x1=-2a,x2=a(舍去),
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
此时,f(x)在区间(0,-2a)单调递减,
在区间(-2a,+∞)上单调递增.…(9分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a<0时,f(x)在区间(0,-2a)单调递减,在区间(-2a,+∞)上单调递增.…(10分)
(1)当-2a≥e,即a≤−
e
2
时,f(x)在区间[1,e]单调递减,
所以,[f(x)]min=f(e)=−2a2+ea+
1
2
e2
;                     …(11分)
(2)当1<-2a<e,即
e
2
<a<−
1
2
时,f(x)在区间(1,-2a)单调递减,
在区间(-2a,e)单调递增,所以[f(x)]min=f(−2a)=−2a2ln(−2a),…(12分)
(3)当-2a≤1,即
1
2
≤a<0
时,f(x)在区间[1,e]单调递增,
所以[f(x)]min=f(1)=a+
1
2
.…(13分)