求多项式x＾n-1在复数域和实数域内的因式分解.
问题描述：
求多项式x＾n-1在复数域和实数域内的因式分解.
我不明白实数域上怎么分解的啊?看个答案将共轭虚根放在一起不明白怎么弄得那么多式子!
将上面的共轭虚根放在一起就得到实数域上的分解：
n是奇数时 x^n-1=(x-1)(x^2-2cos(t)x+1)(x^2-2cos(2t)x+1)...(x^2-2cos((n-1)t/2)x+1)
n是偶数时 x^n-1=(x-1)(x^2-2cos(t)x+1)(x^2-2cos(2t)x+1)...(x^2-2cos((n/2-1)t)x+1)(x+1)
答
在复数域内,多项式x^n-1的因子分解可以看成是方程x^n-1=0的求解,即1开n次方根,假设求得解为X1.Xn,则 x^n-1=(x-x1)*(x-x2)*.*(x-xn)
1开n次方根,求得的解有共轭虚根的,比如z1=cos(θ)+sin(θ)i 和 z2=cos(θ)-sin(θ)i
z1+z2 = 2cos(θ) z1*z2=1
这两个根对应的多项式相乘,得
( x - z1 ) * (x - z2) = x^2 - (z1+z2)x + z1*z2
= x^2 - 2cos(θ) x + 1
当n是奇数是,有一个解为1,落在实数正轴,没有对应的共轭虚根；而当n是偶数时,则有两个解分别落在实际正负轴,没有对应的共轭虚根.因此需要区别对待.