利用三重积分计算曲面z=6-x2-y2与z=x2+y2所围成的立体的体积．
问题描述：
利用三重积分计算曲面z=6-x2-y2与z=
所围成的立体的体积．
x2+y2
答
设所围成的立体为Ω，则Ω的上半曲面是抛物面，下半曲面是开口向上的锥面，因此，宜用柱面坐标计算，
又由
⇒交线
z＝6−x2−y2
z＝
x2+y2
，
x2+y2＝4 z＝2
Dxy：x2+y2≤4，而r≤z≤6-r2
所以V=
dV=∫∫∫ Ω
dθ
∫
2π
0
rdr
∫
2
0
dz=
∫
6−r2
r
π．32 3
答案解析：将两个曲面的交线求出来，然后写出所围成的立体，并用柱面坐标计算三重积分即可．
考试点：利用柱坐标计算三重积分．
知识点：此题考查柱坐标系下三重积分的计算，是基础知识点．