椭圆抛物面z=1-4x∧2-y∧2与平面z=0所围成的立体的体积的V

z=x^2+2y^2叫椭圆抛物面，教材里在“二次曲面”部分是介绍过这种曲面的，它的立体图形如开口向上的旋转抛物面，只不过用平行于xoy面的平面去截，截痕不是圆，而是椭圆。 z=6-2x^2-y^2也是椭圆抛物面，只不过开口向下，并且顶点从原点向上平移6个单位。 z=xy叫双曲抛物面，即马鞍面，它是“二次曲面”部分标准位置的马鞍面绕z轴旋转45度角以后得到的。 求曲面z=f(x,y)与z=g(x,y)围成的立体体积，其实是不需要知道曲面的形状的，方法如下： （1）由z=f(x,y)与z=g(x,y)构成的方程组，消去z，就可以得到两曲面的交线在xoy平面内的投影曲线（一定是闭曲线，只要它们确实能够围成立体），投影曲线所围的区域D就是积分区域； （2）在D内任意取一点，比较在该点处z=f(x,y)与z=g(x,y)两函数值的大小，函数值较大的那块曲面在上，另一块在下。例如点(u,v)∈D，有f(u,v)>g(u,v)，则在D上就一定会有f(x,y)≥g(x,y)，因而被积函数为：f(x,y)-g(x,y)； （3）求这个二重积分，就可以得到立体的体积了。

用二重积分计算 V=∫∫(1-4x∧2-y∧2)dxdy 积分区域 1-4x∧2-y∧2≤0
令x=rcosθ/2 y=rsinθ V=∫∫(1-r∧2)r/2drdθ=π∫0,1( r-r^3)dr=π/4