设n 阶是对称矩阵A满足 A平方=A ,且R(A)=r ,求 行列式的值 2E-A
问题描述：
设n 阶是对称矩阵A满足 A平方=A ,且R(A)=r ,求 行列式的值 2E-A
答
n 阶是对称矩阵A满足 A平方=A ,且R(A)=r
A^2=A
A^2A^(-1)=AA^(-1)
A=E
2E-A=E
｜2E-A｜＝1
答
结果是 2^(n-r)
哆嗒网上有详细解答。
答
因为 A^2=A
所以A的特征值为0 或 1
因为 r(A) = r
所以 A的特征值为:1,1,...,1 (r个),0,0,...,0 (n-r个)
所以2E-A的特征值为:1,1,...,1 (r个),2,2,...,2 (n-r个)
所以 |2E-A| = 1^r * 2^(n-r) = 2^(n-r).
知识点:
1.零矩阵的特征值只有0
2.若a是A的特征值,则 g(a) 是g(A)的特征值,其中 g(x) 是x的多项式.