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已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．（1）求点B的坐标；（2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 11:34:38
问题描述：

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．
（1）求点B的坐标；
（2）求这个函数的解析式；
（3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

答

（1）根据题意，得b=1+b+c．∴c=-1．∴B（0，-1）；（2）过点A作AH⊥y轴，垂足为点H．∵∠ABO的余切值为3，∴cot∠ABO＝BHAH＝3．而AH=1，∴BH=3．∵BO=1，∴HO=2．∴b=2．∴所求函数的解析式为y=x2-2x-1；（3）由y=...
答案解析：（1）根据题意，得b=1+b+c，可得c=-1，从而得出点B的坐标；
（2）过点A作AH⊥y轴，垂足为点H．由∠ABO的余切值为3，∴cot∠ABO＝

BH
AH
＝3，而AH=1，可得BH=3．又BO=1，可得HO=2，b=2，从而得出函数的解析式．
（3）由y=x2-2x-1=（x-1）2-2，得顶点C的坐标为（1，-2）．根据已知可证明∴△ABC∽△AOB，从而得出∠ACB=∠ABO．
考试点：二次函数综合题．
知识点：本题考查了二次函数综合题，难度一般，关键是掌握相似三角形的证明方法．

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