已知函数f(x)=ax²+b/x的图像经过(1,17),(2,12).已知m≠0,若关于x的方程f(x)=f(m)恰有3个不同的根,求实数m的取值范围.

已知函数f(x)=ax²+b/x的图像经过(1,17),(2,12)。已知m≠0,若关于x的方程f(x)=f(m)恰有3个不同的根，求实数m的取值范围。
f(1)=a+b=17...........(1)
f(2)=4a+b/2=12.......(2)
由(2)得8a+b=24............(3)
(3)-(1)得7a=7，故a=1；b=24-8a=24-8=16；
故f(x)=x²+16/x；
由f(x)=f(m)，得x²+16/x=m²+16/m，即有x²+16/x-m²-16/m=0；
去分母得y= mx³-(m³+16)x+16m=0..........(4)
方程(4)有三个不同的实数根，因此其图像三次穿过x轴，故一定会有两个符号相反的极值；
令dy/dx=3mx²-(m³+16)=0，得x=±√[(m³+16)/(3m)]，其中
(m³+16)/(3m)=(m+∛16)(m²-m∛16+∛16²)/(3m)>0，故有m0，这就是方程
f(x)=f(m)恰有三个不同实数根时，m的取值范围。

带入啊a=1，b=16

因为f(x)=ax²+b/x的图像过(1,17)、(2,12)
所以a+b=17,4a+b/2=12
解得a=1,b=16
于是f(x)=x²+16/x
当x>0时,
根据对于任意正数a、b、c,都有a³+b³+c³≥3abc可得,
f(x)=x²+16/x=x²+8/x+8/x≥3∛[x²*(8/x)*(8/x)]=12,等号在x²=8/x=8/x即x=2时取得
当0