a,b,c是有理数,a的平方根加b 的平方根等于c,证明a的平方根和b的平方根都是有理数?怎么证明呢!
问题描述：
a,b,c是有理数,a的平方根加b 的平方根等于c,证明a的平方根和b的平方根都是有理数?怎么证明呢!
答
证明由√a+√b=c得√b=c-√a，两边平方得b=c^2-2*c*√a+a
故√a=(c^2+a-b)/(2c)，由a,b,c是有理数得(c^2+a-b)/(2c)也是有理数，故√a是有理数，同理可证√b是有理数。
答
不可能
例:3^+4^=5^,3的平方根就不是有理数
答
约定sqrt(x)表示计算x的平方根
sqrt(a)+sqrt(b)=c
显然若c=0,否则a=b=0,当然这样的话sqrt(a)=sqrt(b)=0是有理数
若c不是0,
sqrt(a)=c-sqrt(b)
两边平方有
a=c^2-2*c*sqrt(b)+b
所以：sqrt(b)=(c^2+b-a)/(2c)
显然右边是有理数,那么左边也必须是有理数啦··
答
反证法！
假设a的平方根和b 的平方根 “不全是”有理数，因为a,b,c是有理数，则a的平方根加b 的平方根不等于有理数c。
假设不成立。
故a的平方根和b的平方根都是有理数