lim(x→0)(1+1/cotx)^(1/x)=? 书上的答案是e 我不明白怎么得来的
问题描述：
lim(x→0)(1+1/cotx)^(1/x)=?
书上的答案是e
我不明白怎么得来的
答
洛比达法则....
(1+1/cotx)^(1/x)
= e^ln(1 + tanx)^(1/x)
= e^(1/x)ln(1 + tanx)
e^lim(x→0)[ln(1 + tanx)]/x
分子分母同时求导
e^lim(x→0)(secx)^2/(1 + tanx)
分式化简一下得1/[(cosx + sinx)(cosx)]
=e^lim(x→0)1/[(cosx + sinx)(cosx)]
=e^1
=e
答
x→0,x和tanx是等价无穷小
原式=lim(x→0)(1+tanx)^(1/x
=lim(x→0)(1+x)^(1/x)
=lim(x→∝)(1+1/x)^x=e
最后一步可在任何一本高等数学书上找到