函数f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,f(0)=0,f(1)=2,证明:在(0,1)内至少存在ξ,f'(ξ)=2ξ+1

问题描述:

函数f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,f(0)=0,f(1)=2,证明:在(0,1)内至少存在ξ,f'(ξ)=2ξ+1

令g(x)=f(x)-x^2-x
则g(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,
又g(0)=f(0)-0^2-0=0
g(1)=f(1)-1^2-1=0
所以g(0)=g(1)
据罗尔定理知,在(0,1)内至少存在ξ,使g'(ξ)=0,即f'(ξ)=2ξ+1.